Question

（2010•本溪一模）在直角坐標(biāo)系中，放置一個(gè)如圖的直角三角形紙片AOB，已知OA=2，∠AOB=30°，D、E兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，D點(diǎn)以每秒

3

個(gè)單位長度的速度沿y軸正方向運(yùn)動，E點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸正方向運(yùn)動，設(shè)D、E兩點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為t秒（t≠0）．
（1）在點(diǎn)D、E的運(yùn)動過程中，直線DE與線段OA垂直嗎？請說明理由；
（2）當(dāng)時(shí)間t在什么范圍時(shí)，直線DE與線段OA有公共點(diǎn)？
（3）若直線DE與直線OA相交于點(diǎn)F，將△OEF沿DE向上折疊，設(shè)折疊后△OEF與△AOB重疊部分面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t為何值時(shí)，折疊面積最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）如果連接DE，那么根據(jù)D、E兩點(diǎn)的速度可得出OD：OE=

3

，因此直角三角形ODE中，∠OED=60°，而已知了∠AOB=30°，即可得出OA⊥DE．
（2）本題只需考查直線DE過O，A兩點(diǎn)時(shí)，t的取值即可．
（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論．
①當(dāng)0≤t≤

2 3

3

時(shí)，重合部分是三角形．
②當(dāng)

2 3

3

＜t≤

3

時(shí)，重合部分是四邊形．
③當(dāng)

3

＜t≤

4 3

3

時(shí)，重合部分是三角形．
可據(jù)此來求出S，t的關(guān)系式，以及S的最大取值．

解答：解：（1）垂直．
理由：如圖1，連接DE，直角△ODE中，tan∠OED=

OD

OE

=

3

，
∴∠OED=60°．
∵∠BOA=30°，
∴OA⊥ED．

（2）因?yàn)镈E總是垂直于OA運(yùn)動，因此可以看做直線DE沿OA方向進(jìn)行運(yùn)動．因此兩者有公共點(diǎn)的取值范圍就是點(diǎn)O至點(diǎn)A之間．
①當(dāng)DE過O點(diǎn)時(shí)，t=0．
②如圖2，當(dāng)DE過A點(diǎn)時(shí)，直角△OAD中，OA=2，∠ODA=30°，
因此OD=4，t=

4 3

3

．
因此t的取值范圍是0≤t≤

4 3

3

．

（4）當(dāng)0≤t≤

2 3

3

時(shí)，S=

3

8

t²；S_max=

3

6

；
當(dāng)

2 3

3

＜t≤

3

時(shí)，S=

3

2

-

3

8

t²-

3

2

（

3

-t）²=-

5 3

8

（t-

4 3

5

）²+

3

5

，S_max=

3

5

；
當(dāng)

3

＜t≤

4 3

3

時(shí)，S=

3

2

（2-

3

2

t）²，S無最大值；
綜上所述S的最大值為

3

5

．

點(diǎn)評：本題中對于點(diǎn)的運(yùn)動要分類進(jìn)行討論．分類討論是初中數(shù)學(xué)重要的思想方法，難點(diǎn)是一要想到用討論的方法進(jìn)行求解．二是討論界限要確定不要漏解和重復(fù)．