Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝12，∠A＝60°．點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向A點勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．

（1）AB的長是　 　．

（2）在D、E的運動過程中，線段EF與AD的關系是否發生變化？若不變化，那么線段EF與AD是何關系，并給予證明；若變化，請說明理由．

（3）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）EF與AD平行且相等，理由見解析；（3）t＝4

【解析】

（1）在Rt△ABC中，∠C＝30°，則AC＝2AB，得到AB的值．

（2）先證四邊形AEFD是平行四邊形，從而證得AD∥EF，并且AD＝EF，在運動過程中關系不變．

（3）求得四邊形AEFD為平行四邊形，若使AEFD為菱形則需要滿足的條件及求得．

解：（1）Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．

∴∠C＝30°

∵AC＝12

∴AB＝6，

故答案為：6；

（2）EF與AD平行且相等．

證明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，

∴DF＝t．

又∵AE＝t，

∴AE＝DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

∴四邊形AEFD為平行四邊形．

∴EF與AD平行且相等．

（3）能；理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

又∵AE＝DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形．

∵AB＝6，AC＝12．

∴AD＝AC﹣DC＝12﹣2t．

若使AEFD為菱形，則需AE＝AD，

即t＝12﹣2t，t＝4．

即當t＝4時，四邊形AEFD為菱形．