Question

對任意有理數x、y定義運算如下：x△y=ax+by+cxy，這里a、b、c是給定的數，等式右邊是通常數的加法及乘法運算，如當a=1，b=2，c=3時，l△3=1×l+2×3+3×1×3=16，現已知所定義的新運算滿足條件，1△2=3，2△3=4，并且有一個不為零的數d使得對任意有理數x△d=x，求a、b、c、d的值．

Answer 1

分析：由x△d=x，得ax+bd+cdx=x，即（a+cd-1）x+bd=0，得

a+cd-1=0 bd=0

①，由1△2=3，得a+2b+2c=3②，2△3=4，得2a+3b+6c=4③，解以上方程組成的方程組即可求得a、b、c、d的值．

解答：解：∵x△d=x，∴ax+bd+cdx=x，
∴（a+cd-1）x+bd=0，
∵有一個不為零的數d使得對任意有理數x△d=x，
則有

a+cd-1=0 bd=0

①，
∵1△2=3，∴a+2b+2c=3②，
∵2△3=4，∴2a+3b+6c=4③，
又∵d≠0，∴b=0，
∴有方程組

a+cd-1=0 a+2c=3 2a+6c=4

解得

a=5 c=-1 d=4

．
故a的值為5、b的值為0、c的值為-1、d的值為4．

點評：本題是新定義題，考查了定義新運算，解方程組．解題關鍵是由一個不為零的數d使得對任意有理數x△d=x，得出方程（a+cd-1）x+bd=0，得到方程組

a+cd-1=0 bd=0

，求出b的值．