Question

【題目】ΔABC、ΔCDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、點N分別是線段AD、BE的中點.

（1）證明： AD=BE.（2）求∠DOE的角度。（3）證明：ΔMNC是等邊三角形.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）60°；（3）詳見解析

【解析】

提示：先證明ΔACD≌BCE(SAS).利用第（1）問證明的結論，用三角形內角和求出∠DOE=60°，易得ΔACM≌ΔBCN(SAS)，從而得到ΔCMN為等邊三角形.

證明：（1）∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∵∠ACB+∠BCD=∠ACD，

∠DCE+∠BCD=∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC＝BC

∠ACD＝∠BCE

CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

(2)由（1）知∵△ACD≌△BCE,

∴∠ACD=∠BEC,

∵三角形DCE是等邊三角形，

∴∠CED=∠CDE=60°

∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°

∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°

(3）∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

∵點M、N分別是線段AD、BE的中點，AD=BE，

∴AM=BN，

在△ACM和△BCN中，

AC＝BC

∠CAD＝∠CBE

AM＝BN，

∴△ACM≌△BCN（SAS），

∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，

∴∠MCN=∠BCM+∠BCN=∠BCM+∠ACM=∠ACB=60°，

∴△MNC是等邊三角形．