Question

【題目】如圖，點(diǎn)A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數(shù)y＝的圖象上． 將線段 AB沿直線y=kx+b進(jìn)行對(duì)折得到對(duì)應(yīng)線段A′B′，且點(diǎn)A′ 始終在直線OA上，當(dāng)線段A′B′ 與x軸有交點(diǎn)時(shí)，(1),m=____;(2),b的取值范圍是____．

Answer 1

【答案】m=3 ≤b≤．

【解析】

（1）由題可得m（m+1）=（m+3）（m-1），解這個(gè)方程就可求出m的值;

(2) 由于點(diǎn)A關(guān)于直線y=kx+b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)A1始終在直線OA上，因此直線y=kx+b必與直線OA垂直，只需考慮兩個(gè)臨界位置（A1在x軸上、B1在x軸上）對(duì)應(yīng)的b的值，就可以求出b的取值范圍．

（1）∵點(diǎn)A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數(shù)y=的圖象上．

∴m（m+1）=（m+3）（m-1）．

解得：m=3．

(2) ①當(dāng)點(diǎn)B1落到x軸上時(shí)，如圖1，

設(shè)直線OA的解析式為y=ax，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），

∴3a=4，即a=．

∴直線OA的解析式為y=x．

∵點(diǎn)A1始終在直線OA上，

∴直線y=kx+b與直線OA垂直．

∴k=-1．

∴k=-．

由于BB1∥OA，因此直線BB1可設(shè)為y=x+c．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2），

∴×6+c=2，即c=-6．

∴直線BB1解析式為y=x-6．

當(dāng)y=0時(shí)，x-6=0．則有x=．

∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（，0）．

∵點(diǎn)C是BB1的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）即（，1）．

∵點(diǎn)C在直線y=-x+b上，

∴-×+b=1．

解得：b=．

②當(dāng)點(diǎn)A1落到x軸上時(shí)，如圖2，

此時(shí)，點(diǎn)A1與點(diǎn)O重合．

∵點(diǎn)D是AA1的中點(diǎn)，A（3，4），A1（0，0），

∴D（，2）．

∵點(diǎn)D在直線y=-x+b上，

∴-×+b=2．

解得：b=．

綜上所述：當(dāng)線段A1B1與x軸有交點(diǎn)時(shí)，則b的取值范圍為≤b≤．

故答案為：≤b≤．