Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊AC相交于點D，BC是⊙O的切線，E為BC的中點，連接BD、DE．

（1）求DE是⊙O的切線；

（2）設△CDE的面積為S1，四邊形ABED的面積為S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；

（3）在（2）的條件下，連接AE，若⊙O的半徑為2，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）連接OD，由圓周角定理就可得∠ADB=90°和∠CDB=90°，又由E為BC的中點可以得出DE=BE，進一步得到∠EDO＝∠EBO，由等式的性質就可以得出∠ODE=90°即可證明；

（2）由S2=5S1，即△ADB的面積是△CDE面積的4倍，可得AD:CD=2:1，AD:BD=2，則可求tan∠BAC；

（3）由（2）的關系即可知AD:BD=2，在Rt△AEB中，運用勾股定理解答即可．

（1）證明：連接OD，

∴OD＝OB

∴∠ODB＝∠OBD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠CDB＝90°．

∵E為BC的中點，

∴DE＝BE，

∴∠EDB＝∠EBD，

∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD，

即∠EDO＝∠EBO．

∵BC是以AB為直徑的⊙O的切線，

∴AB⊥BC，

∴∠EBO＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵S2＝5S1，

∴S△ADB＝2S△CDB，

∴＝，

∵△BDC∽△ADB，

∴＝，

∴DB2＝ADDC，

∴ ，

∴tan∠BAC＝；

（3）解：∵tan∠BAC＝，

∴，得BC＝AB＝2 ，

∵E為BC的中點，

∴BE＝BC＝，

∴AE＝．