Question

【題目】如圖，矩形ABCD的頂點 A的坐標為（4，2），頂點B，C分別在軸，軸的正半軸上．

（1）求證：∠OCB＝∠ABE；

（2）求OC長的取值范圍；

（3）若D的坐標為（，），請說明隨的變化情況．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）0＜OC≤2．（3）當0＜≤2時，隨的增大而增大；當2≤＜2時，隨的增大而減小．

【解析】試題分析：（1）根據矩形的性質得出∠CBA=∠COB=90°，求出∠OCB+∠CBO=90°，∠CBO+∠ABE=90°，即可得出答案；（2）過A作AF⊥x軸于F，證△COB∽△BEA，得出比例式，設OB=x，OC=y，則BE=4﹣x，求出y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，即可得出答案；（3）求出n=﹣（m﹣2）2+4，根據二次函數的性質得出即可．

試題解析：

（1）證明：∵矩形ABCD，

∴∠ABC＝90°，

∵∠BOC＝90°，

∴∠ABC＝∠BOC，

∵∠BOC＋∠OCB＝∠ABC＋∠ABE，　

∴∠OCB＝∠ABE．

（2）解：過點A作AF⊥軸于F，

　　　　當點B在點F時，OC的長最小，為0．

　　　　

設OB＝，OC＝，則BF＝4－．

　　　　∵AF⊥軸，

∴∠AFB＝90°．

∴∠BOC＝∠AFB＝90°．

∴△BOC∽△AEB．　　

∴．

∴．

∴．

∴OC的最大值為2．

∴OC的取值范圍是0＜OC≤2．　

（3）解：過點D作AH⊥軸于H．

由矩形的性質易得△DHC≌△BFA．　

∴DH＝BF＝4－，

CH＝AF＝2．

∴，．

∴．

∵0≤＜4，

∴0＜≤4．

∴當0＜≤2時，隨的增大而增大；當2≤＜2時，隨的增大而減小．