Question

【題目】在邊長為2的菱形ABCD中，E是邊AD的中點，點F、G、H分別在邊AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．

（1）如圖1，當點是邊中點時，求證：四邊形是矩形；

（2）如圖2，當時，求值；

（3）當，且四邊形是矩形時（點不與中點重合），求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）連接、，由菱形的性質及三角形的中位線定理證得，，從而可知四邊形是平行四邊形，再由有一個角為直角的平行四邊形是矩形得出結論；

（2）連接，由菱形的性質及可得，及，從而判定，結合及菱形的性質可得答案；

（3）如圖，過點作于點，過點作延長線于點，根據及菱形的邊長可求得，．設，則，當四邊形是矩形時，，則與相似（三垂直模型），分兩種情況列式計算即可：①，②．

解：（1）連接、，

菱形中，是邊的中點，點是邊中點，

，，

，．

，

，

四邊形是平行四邊形，

，

，

四邊形是矩形；

（2）連接，

菱形中，，

，

，

，

，

又菱形中，，

，

，

，

，

；

（3）如圖，過點作于點，過點作延長線于點，

四邊形是矩形，

，

由（2）可知，，

此時，

又菱形邊長為2，

，

，

，

，

．

設，則，

當四邊形是矩形時，，則與相似（三垂直模型）．

①若，

則，

，

解得，（點不與中點重合，舍去）；

②若，

則，

，

解得．

綜上，的長為或．