Question

某電視臺與某廣告公司約定播放甲、乙兩部電視劇，經調查，播放甲連續劇平均每集有觀眾20萬人次，播放乙連續劇平均每集有觀眾15萬人次，公司要求電視臺每周共播放7集。
（1）設一周內甲連續劇播x集，甲、乙兩部連續劇的觀眾總收視人數為y萬人次，求y與x的函數關系式；
（2）已知電視臺每周只能為該公司提供不超過300分鐘的播放時間，并且播放甲連續劇每集50分鐘，播放乙連續劇每集35分鐘，問電視臺每周應各播放甲、乙兩種連續劇多少集，才能使每周收視觀眾的人數總和最大？并求出這個最大值。

Answer 1

（1）y=5x+105；（2）甲3集，乙4集，最大值是120萬人次

試題分析：（1）根據等量關系：一周內觀看甲連續劇的人數+觀看乙連續劇的人數=總人數，即可列出函數關系式；
（2）根據甲連續劇播放時間+乙連續劇時間≤300分鐘，即可得到x的范圍，再結合（1）中的函數關系式的性質即可得到結果.
（1）由題意得y=20x+15（7-x）
∴y=5x+105；
（2）由題意得50x+35（7-x）≤300
解得
又y=5x+105的函數值隨著x的增大而增大．
又∵x為自然數，
當x=3時，y有最大值3×5+105=120（萬人次）
7-x=4
答：電視臺每周應播出甲連續劇3集，播放乙連續劇4集，才能使每周收視觀眾的人次總和最大，這個最大值是120萬人次．
點評：函數的應用是初中數學的重點和難點，是中考常見題，在壓軸題中極為常見，難度較大.