Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）求過B、C兩點的直線的函數表達式；

（3）點P是第一象限內拋物線上的一個動點．過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點P的坐標，若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）y＝﹣x+4；（3）存在，（1，4）或（，）．

【解析】

（1）將點A，B的坐標代入y＝﹣x2+bx+c即可；

（2）先求出點C的坐標為（0，4），設直線BC的解析式為y＝kx+4，再將點B（4，0）代入y＝kx+4即可；

（3）先判斷存在點P，求出AC，BC的長及∠OCB＝∠OBC＝45°，設點P坐標為（m，﹣m2+m+4），則點Q（m，﹣m+4），用含m的代數式表示出QM，AM的長，然后分①當AC＝AQ時，②當AC＝CQ時，③當CQ＝AQ時三種情況進行討論，列出關于m的方程，求出m的值，即可寫出點P的坐標．

（1）將點A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

得，，

解得，，

∴此拋物線的表達式為y＝﹣x2+x+4；

（2）在y＝﹣x2+x+4中，

當x＝0時，y＝4，

∴C（0，4），

設直線BC的解析式為y＝kx+4，

將點B（4，0）代入y＝kx+4，

得，k＝﹣1，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4；

（3）存在，理由如下：

∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4），

∴OA＝3，OC＝OB＝4，

∴AC＝＝5，BC＝＝4，∠OCB＝∠OBC＝45°，

設點P坐標為（m，﹣m2+m+4），則點Q（m，﹣m+4），

∴QM＝﹣m+4，AM＝m+3，

①當AC＝AQ時，則AC＝AQ＝5，

（m+3）2+（﹣m+4）2＝25，

解得：m1＝1，m2＝0（舍去），

當m＝1時，﹣m2+m+4＝4，

則點P坐標為（1，4）；

②當AC＝CQ時，CQ＝AC＝5，

如圖，過點Q作QD⊥y軸于點D，

則QD＝CD＝OM＝m，

則有2m2＝52，

解得m1＝，m2＝﹣（舍去）；

當m＝時，﹣m2+m+4＝，

則點P坐標為（，）；

③當CQ＝AQ時，（m+3）2+（﹣m+4）2＝2m2，

解得：m＝（舍去）；

故點P的坐標為（1，4）或（，）．