Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC。

求證：（1）BC平分∠PBD；

（2）BC2=AB·BD。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）連接OC．可發現∠OCB和∠DBC同為∠DCB的余角，而∠OCB=∠OBC，由此可得∠OBC=∠DBC，即BC平分∠PBD；

（2）連接AC．證明△ABC∽△CBD即可．

【解答】證明：（1）連接OC．（1分）

∵PD切⊙O于點C，

又∵BD⊥PD，

∴OC∥BD．

∴∠1=∠3．（2分）

又∵OC=OB，

∴∠2=∠3．（3分）

∴∠1=∠2，即BC平分∠PBD．（4分）

（2）連接AC．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．（5分）

又∵BD⊥PD，

∴∠ACB=∠CDB=90°（6分）

又∵∠1=∠2，

∴△ABC∽△CBD；（7分）

∴，∴BC2=ABBD．（8分）