Question

【題目】已知二次函數y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值為4，且拋物線過點（，﹣），點P（t，0）是x軸上的動點，拋物線與y軸交點為C，頂點為D．

(1)求該二次函數的解析式，及頂點D的坐標；

(2)求|PC﹣PD|的最大值及對應的點P的坐標；

(3)設Q（0，2t）是y軸上的動點，若線段PQ與函數y=a|x|2﹣2a|x|+c的圖象只有一個公共點，求t的取值．

Answer 1

【答案】（1），D（1，4）；（2），P（﹣3，0）；（3）t的取值是≤t＜3或t=或t≤﹣3．

【解析】

試題（1）先利用對稱軸公式x=計算對稱軸，即頂點坐標為（1，4），再將兩點代入列二元一次方程組求出解析式；

（2）根據三角形的三邊關系：可知P、C、D三點共線時|PC﹣PD|取得最大值，求出直線CD與x軸的交點坐標，就是此時點P的坐標；

（3）先把函數中的絕對值化去，可知，此函數是兩個二次函數的一部分，分三種情況進行計算：①當線段PQ過點（0，3），即點Q與點C重合時，兩圖象有一個公共點，當線段PQ過點（3，0），即點P與點（3，0）重合時，兩函數有兩個公共點，寫出t的取值；②線段PQ與當函數（x≥0）時有一個公共點時，求t的值；③當線段PQ過點（﹣3，0），即點P與點（﹣3，0）重合時，線段PQ與當函數（x＜0）時也有一個公共點，則當t≤﹣3時，都滿足條件；綜合以上結論，得出t的取值．

（1）∵的對稱軸為：x=1，∴拋物線過（1，4）和（，）兩點，代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，∴二次函數的解析式為：，∴頂點D的坐標為（1，4）；

（2）∵C、D兩點的坐標為（0，3）、（1，4）；

由三角形兩邊之差小于第三邊可知：

|PC﹣PD|≤|CD|，∴P、C、D三點共線時|PC﹣PD|取得最大值，此時最大值為，|CD|=，由于CD所在的直線解析式為y=x+3，將P（t，0）代入得t=﹣3，∴此時對應的點P為（﹣3，0）；

（3）的解析式可化為：

設線段PQ所在的直線解析式為y=kx+b，將P（t，0），Q（0，2t）代入得：

線段PQ所在的直線解析式：y=﹣2x+2t，分三種情況討論：

①當線段PQ過點（0，3），即點Q與點C重合時，線段PQ與函數有一個公共點，此時t=，當線段PQ過點（3，0），即點P與點（3，0）重合時，t=3，此時線段PQ與有兩個公共點，所以當≤t＜3時，線段PQ與有一個公共點；

②將y=﹣2x+2t代入（x≥0）得：

，，令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，t=＞0，所以當t=時，線段PQ與也有一個公共點；

③當線段PQ過點（﹣3，0），即點P與點（﹣3，0）重合時，線段PQ只與（x＜0）有一個公共點，此時t=﹣3，所以當t≤﹣3時，線段PQ與也有一個公共點，綜上所述，t的取值是≤t＜3或t=或t≤﹣3．