Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2+（2x+1）x+k2=0①有兩個不相等的實數根．
（1）求k的取值范圍；
（2）設方程①的兩個實數根分別為x1 ， x2 ， 當k=1時，求x12+x22的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程有兩個不相等的實數根，

∴△=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，

解得：k＞﹣ ；

（2）解：當k=1時，方程為x2+3x+1=0，

∵x1+x2=﹣3，x1x2=1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7．

【解析】（1）由方程有兩個不相等的實數根知△＞0，列不等式求解可得；（2）將k=1代入方程，由韋達定理得出x1+x2=﹣3，x1x2=1，代入到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2可得．
【考點精析】本題主要考查了求根公式和根與系數的關系的相關知識點，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能正確解答此題．