Question

如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點D，一個直徑與AD相等的圓與BC相切于點E，與AB相切于點F，連接EF。

（1）判斷EF與AC的位置關(guān)系（不必說明理由）；；
（2）如圖（2），過E作BC的垂線，交圓于G，連接AG，判斷四邊形ADEG的形狀，并說明理由。
（3）求證：AC與GE的交點O為此圓的圓心．

Answer 1

（1）EF∥AC；（2）四邊形ADEG為矩形。

試題分析：（1）根據(jù)∠EFB與∠FEB都是弦切角，可得△ABC是等邊三角形，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，即△BFE為等邊三角形，所以求得∠BAC=∠BFE，∠BCA=∠BEF，可證明EF∥AC；
（2）根據(jù)圓切BC于E，EG為直徑，AD=EG，AD⊥BC，可判定四邊形ADEG為矩形；
（3）由（1）（2）的結(jié)論，證明AC垂直平分FG；再根據(jù)垂徑定理，可知AC必過圓心，又EG為直徑，所以AC與GE的交點O為此圓的圓心．
（1）EF∥AC；
（2）四邊形ADEG為矩形。
理由：∵EG⊥BC，E為切點，
∴EG為直徑，
∴EG=AD
又∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD∥EG，即四邊形ADEG為矩形。
（3）連接FG，

由（2）可知EG為直徑，
∴FG⊥EF，
又由（1）可知，EF∥AC，
∴AC⊥FG，
又∵四邊形ADEG為矩形，
∴EG⊥AG，則AG是已知圓的切線。
而AB也是已知圓的切線，則AF=AG，
∴AC是FG的垂直平分線，故AC必過圓心，
因此，圓心O就是AC與EG的交點。
說明：也可據(jù)△AGO≌△AFO進行說理。
點評：解答本題的關(guān)鍵是要熟練掌握矩形的判定和圓中的有關(guān)性質(zhì)才能靈活的解題．