Question

【題目】已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜邊AC交⊙O于點D，且AD=DC，延長CB交⊙O于點E．

（1）圖1的A、B、C、D、E五個點中，是否存在某兩點間的距離等于線段CE的長？請說明理由；

（2）如圖2，過點E作⊙O的切線，交AC的延長線于點F．

①若CF=CD時，求sin∠CAB的值；

②若CF=aCD（a＞0）時，試猜想sin∠CAB的值．（用含a的代數式表示，直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．

【解析】試題（1）連接AE、DE，如圖1，根據圓周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根據垂直平分線的性質可得AE=CE；

（2）連接AE、ED，如圖2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直徑，根據切線的性質可得∠AEF=90°，從而可證到△ADE∽△AEF，然后運用相似三角形的性質可得=ADAF．①當CF=CD時，可得，從而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中運用三角函數可得sin∠CED=，根據圓周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②當CF=aCD（a＞0）時，同①即可解決問題．

試題解析：（1）AE=CE．理由：

連接AE、DE，如圖1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；

（2）連接AE、ED，如圖2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直徑，∵EF是⊙OO的切線，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=ADAF．

①當CF=CD時，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；

②當CF=aCD（a＞0）時，sin∠CAB=．

∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．