Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3交y軸于點A，交x軸與點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A和點B，點P為拋物線上直線AB上方部分上的一點，且點P的橫坐標為t，過P作PE∥x軸交直線AB于，作PH⊥x軸于H，PH交直線AB于點F．

（1）求拋物線解析式；

（2）若PE的長為m，求m關于t的函數關系式；

（3）是否存在這樣的t值，使得∠FOH﹣∠BEH=45°？若存在，求出t值，并求tan∠BEH的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）m與t的關系式為m=﹣t2+3t；（3）存在滿足條件的t的值，t的值為1，tan∠BEH的值為．

【解析】

試題分析：（1）由直線AB的解析式可求得A、B兩點的坐標，代入拋物線解析式可求得b、c，可求得拋物線解析式；

（2）由P點坐標表示出E點的縱坐標，代入直線AB解析式，可求得E點橫坐標，則可用t表示出PE的長，可得到m關于t的函數關系式；

（3）過E作EG⊥x軸于點G，則可用t表示出GH和EG，由三角形外角的性質和已知條件可證得∠EHG=∠FOH，可證明△FOH∽△EHG，根據相似三角形的性質可求得t的值，則可求得tan∠EHG，結合∠BEH=∠FOH﹣45°，則可求得tan∠BEH的值．

解：（1）在直線y=﹣x+3中，令x=0可得y=3，令y=0可得x=3，

∴A（0，3），B（3，0），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點，

∴把A、B兩點的坐標代入可得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）∵P點在拋物線上，

∴P點坐標為（t，﹣t2+2t+3），

∵PE∥x軸，

∴E點縱坐標為﹣t2+2t+3，

∵E點在直線AB上，

∴把E點縱坐標代入直線AB解析式可得﹣t2+2t+3=﹣x+3，解得x=t2﹣2t，

∴E點橫坐標為t2﹣2t，

∴PE=m=t﹣（t2﹣2t）=﹣t2+3t，

∴m與t的關系式為m=﹣t2+3t；

（3）如圖，過E作EG⊥x軸于點G，

∵OA=OB=3，

∴∠EBO=45°，

∴∠EHG=∠BEH+∠EBO=∠EBH+45°，

∵∠FOH﹣∠BEH=45°，

∴∠FOH=∠BEH+45°，

∴∠EHG=∠FOH，且∠FHO=∠EGH=90°，

∴△FOH∽△EGH，

∴=，

∵OH=t，F在直線AB上，

∴FH=﹣t+3，

由（2）可知EG=﹣t2+2t+3，GH=m=﹣t2+3t，

∴=，解得t=1，

∴OH=1，FH=2，

∴tan∠FOH==2，

∵∠FOH﹣∠BEH=45°，

∴∠BEH=∠FOH﹣45°，

∴tan∠BEH=tan（∠FOH﹣45°）===，

綜上可知存在滿足條件的t的值，t的值為1，tan∠BEH的值為．