Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AH折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．折痕與邊BC交于點(diǎn) H,

已知AD=8，HC:HB=3:5.

（1）求證：△HCP∽△PDA；

（2） 探究AB與HB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）連結(jié)BP，動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；說(shuō)明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AB=2BH.，理由見(jiàn)解析；(3) EF的長(zhǎng)度不變．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似可求證；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，由相似三角形的性質(zhì)可求出二者之間的關(guān)系；

（3）作MQ∥AB交PB于Q，可得∠MQP=∠ABP， 然后由折疊的性質(zhì)可知，∠APB=∠ABP，即∠MQP=∠APB，根據(jù)等角對(duì)等邊可得MP=MQ，又BN=PM，根據(jù)等量代換可得MQ=BN，然后由平行線分線段成比例可求EF=PB，最后根據(jù)勾股定理求解.

試題解析：（1）由折疊的性質(zhì)可知，

∠APH=∠B=90°， ∴∠APD+∠HPC=90°，

又∠PHC+∠HPC=90°， ∴∠APD=∠PHC，

又∠D=∠C=90°，∴△HCP∽△PDA；

（2）AB=2BH.

∵HC:HB=3:5，設(shè)HC=3x，則HB=5x，

在矩形ABCD中，BC=AD=8 ，∴HC=3，則HB=5

由折疊的性質(zhì)可知HP=HB=5,AP=AB,

在Rt△HCP,易得PC=4，

∵△HCP∽△PDA

∴,∴

∴AB=AP=10=2BH,即AB=2BH.

（3）EF的長(zhǎng)度不變．

作MQ∥AB交PB于Q， ∴∠MQP=∠ABP，

由折疊的性質(zhì)可知，∠APB=∠ABP，

∴∠MQP=∠APB，

∴MP=MQ，又BN=PM，∴MQ=BN，

∵MQ∥AB，∴，

∴QF=FB，

∵MP=MQ，ME⊥BP， ∴PE=QE，∴EF=PB，

由（2）得，PC=4，BC=8，

∴PB==，

∴EF=