Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90o，BE是它的角平分線，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經過點E．

（1）試說明：AC是圓O的切線；

（2）若∠A=30o，圓O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圖中陰影部分的面積為π．

【解析】

（1）由OB=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由BE為角平分線得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到OE與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到OE⊥AC，即可得證；

（2）由∠A的度數求出∠AOE度數，利用30°直角三角形的性質求出OA的長，利用勾股定理求出AE的長，陰影部分面積=直角三角形AOE面積-扇形OED面積，求出即可．

解：（1）∵OB=OE，

∴∠BEO=∠EBO，

∵BE平分∠CBO，

∴∠EBO=∠CBE，

∴∠BEO=∠CBE，

∴EO∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠AEO=∠C=90°，

則AC是圓O的切線；

（2）在Rt△AEO中，∠A=30°，OE=4，

∴OA=2OE=8，∠AOE=60°，

根據勾股定理得：AE=

則S陰影=S△AOE-S扇形EOD=