Question

如圖1，AB、CD是兩條線段，M是AB的中點，S_△DMC、S_△DAC、S_△DBC分別表示△DMC、△DAC、△DBC的面積．當AB∥CD時，則有S_△DMC=

S△DAC+S△DBC

2

．
（1）如圖2，M是AB的中點，AB與CD不平行時，作AE、MN、BF分別垂直DC于E、N、F三個點，問結論①是否仍然成立？請說明理由．
（2）若圖3中，AB與CD相交于點O時，問S_△DMC、S_△DAC和S_△DBC三者之間存在何種相等關系？試證明你的結論．

Answer 1

（1）當AB和CD不平行時，結論①仍然成立．
如圖，由已知，可得AE、BF和MN兩兩平行，
∴四邊形AEFB是梯形．
∵M為AB的中點，
∴MN是梯形AEFB的中位線．
∴MN=

1

2

（AE+BF）．
∴S_△DAC+S_△DBC=

1

2

DC•2MN=2S_△DMC，
∴S_△DMC=

S△DAC+S△DBC

2

．

（2）∵M為AB的中點，
∴S_△ADM=S_△BDM，S_△ACM=S_△BCM，
∴S_△DCM=S_△MOD+S_△MOC
=（S_△AMD-S_△AOD）+（S_△AMC-S_△AOC）
=（S_△BDM+S_△BCM）-（S_△AOD+S_△AOC）
=（S_△DBC-S_△DMC）-S_△DAC，
∴2S_△DCM=S_△DBC-S_△DAC，
∴S_△DMC=

S△DBC-S△DAC

2

．