Question

【題目】如圖，在矩形中，，，直角尺的直角頂點在上滑動時（點與，不重合），

一直角邊經過點，另一直角邊交于點，我們知道，結論“”成立．

當時，求的長；

是否存在這樣的點，使的周長等于周長的倍？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE＝；（2）存在這樣的點，且長為

【解析】

（1）由于∠CPD與∠AEP同為∠APE的余角，因此當時，∠AEP=30°．可在Rt△CPD中，根據∠CPD的度數和CD的長，求出PD的長，進而可求出AP的值．同理可在Rt△APE中，求出AE的長．
（2）由于Rt△AEP∽Rt△DPC，當△DPC的周長等于△AEP周長的2倍時，兩個三角形的相似比為1：2，即．根據CD=AB=4，可求出PD的長．

解：∵，

∴當時，．

在中，，，因此，

∴．

在中，，，因此．假設存在這樣的點，

∵，

∴．

∵，

∴，，

∴存在這樣的點，且長為．