Question

如圖，已知拋物線與軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點，與軸交于點C（0，3）。

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點M是拋物線上一點，以B、C，D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標。

Answer 1

解：（1）∵拋物線與軸交于點（0，3），

∴設拋物線解析式為。   

根據題意，得，解得。

∴拋物線的解析式為。 

（2）存在。          

  由，得D點坐標為（1，4），對稱軸為。

  ①若以CD為底邊，則PD=PC，

  設P點坐標為，根據勾股定理，得

  ，

  即。                  

  又點P在拋物線上，

  ∴，即。     

  解得。

  ∵，應舍去，∴。     

  。

  即點P的坐標為。     

  ②若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，

點P與點C關于直線對稱，此時P點坐標為（2，3）。

  ∴符合條件的點P坐標為或（2，3）。    

（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據勾股定理，得

        ，,。        

        ∴

        ∴∠BCD=90º，

        設對稱軸交軸于點E，過C做CM⊥DE，交拋物線于點M，垂足為F。

在Rt△DCF中，

∵CF=DF=1，∴∠CDF=45º，

        由拋物線的對稱性知，

        ∠CDM=2×45º=90º，點M坐標為（2，3）

        ∴DM∥BC。

        ∴四邊形BCDM為直角梯形。

        由∠BCD=90º及題意可知，

        以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；

        以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在。

        綜上所述，符合條件的點M的坐標為（2，3）。