Question

如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及其頂點的坐標；
（2）設直線交軸于點．在線段的垂直平分線上是否存在點，使得點到直線的距離等于點到原點的距離？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）過點作軸的垂線，交直線于點，將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

（1）
（2）
（3）向上最多可平移72個單位長，向下最多可平移個單位長解析:
（1）設拋物線解析式為，把代入得．
，
頂點 （4分）
（2）假設滿足條件的點存在，依題意設，
由求得直線的解析式為，
它與軸的夾角為，設的中垂線交于，則．
則，點到的距離為．
又．（2分）
．
平方并整理得：
．
存在滿足條件的點，的坐標為．   （2分）
（3）由上求得．
①若拋物線向上平移，可設解析式為．
當時，．
當時，．
或．
． （2分）
②若拋物線向下移，可設解析式為．
由，
有．
，．
向上最多可平移72個單位長，向下最多可平移個單位長．（2分）