Question

如圖，O是∠ABC的邊BA上一點，以O為圓心的圓與角的另一邊BC相切于點D，交BO于點E，F是OA上一點，過F作FG⊥AB，交BC于點G，BD=2

3

，sin∠ABC=

1

2

，設OF=x，四邊形EDGF的面積為y．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）在直角平面坐標系內畫出這個函數的大致圖象；
（3）這個函數的圖象與經過點（1，

3

3

）的正比例函數的圖象有無交點？若有交點，求出交點坐標；若無交點，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OD，則由切線性質可得OD⊥BC，作EH⊥BD垂足為H，由sin∠ABC=

1

2

，可知∠ABC=30°，圖形中就有三個30°的直角三角形，分別是△BEH、△BOD和△BGF，先解△BOD，由BD=2

3

，可求OD、OB、BE，再解△BEH，可求EH及△BED的面積，由于OF=x，則BF可表示出來，解Rt△BGF，可表示FG及△BGF的面積，用S_{四邊形EDGF}=S_△BGF-S_△BDE即可；
（2）畫圖象時，要注意拋物線對稱軸，頂點坐標，與坐標軸的交點及自變量的取值范圍；
（3）由點（1，

3

3

）可得正比例函數關系式，與二次函數解析式聯立，解方程組即可．

解答：解：（1）連接OD，則OD⊥BC，
∴△BOD是直角三角形，由sin∠ABC=

1

2

=

OD

OB

，設OD=m，則OB=2m，
在Rt△OBD中，BO²=BD²+OD²；即（2m）²=（2

3

）²+m²，
∴OD=m=2，OB=2m=4，
∴BE=OB-OE=OB-OD=4-2=2，BF=OB+OF=4+x．
作EH⊥BD垂足為H，則∠BHE=∠BDO=90°，
∴EH∥OD，
∵BE=OE，BH=HD，
∴EH=

1

2

OD．
又∵S_△OBD=

1

2

BD•OD=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
∴S_△BED=

1

2

S_△OBD=

3

，
∵GF⊥AB，∴∠BDO=∠BFG=90°，
又∵∠DBO=∠FBG，
∴△OBD∽△GBF，

S△OBD

S△GBF

=(

BD

BF

)2，
即

2 3

S△GBF

=(

2 3

4+x

)2
∴S_△GBF=

3

6

（4+x）²-

3

即y=

3

6

（4+x）²-

3

．

（2）所求函數的大致圖象如圖所示．

（3）設正比例函數為y=kx
∵這個正比例函數的圖象經過點（1，

3

6

）．
∴

3

6

=k×1，
∴k=

3

6

∴這個正比例函數是y=

3

6

x．
解方程組

y= 3 6 x y= 3 6 (4+x)2- 3

，
得

x1=-2 y1=- 3 3

，

x2=-5 y2=- 5 3 6

，
∴這個正比例函數與（1）中函數的圖象有兩個交點，
其坐標分別為（-2，-

3

3

）、（-5，-

5

6

3

）．

點評：本題考查了解直角三角形，三角形面積的表示方法，求二次函數解析式及其圖象，二次函數圖象與一次函數圖象的交點等綜合運用問題，在表示不規則四邊形面積時，要學會作差法．