Question

【題目】如圖①，AB是⊙O的一條弦，點C是優弧上一點．

（1）若∠ACB=45°，點P是⊙O上一點（不與A、B重合），則∠APB= ；

（2）如圖②，若點P是弦AB與所圍成的弓形區域（不含弦AB與）內一點．求證：∠APB＞∠ACB；

（3）請在圖③中直接用陰影部分表示出在弦AB與所圍成的弓形區域內滿足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的點P所在的范圍．

Answer 1

【答案】（1）45°或135°；（2）∠APB＞∠ACB；（3）圖見解析

【解析】

試題分析：（1）根據題意可知，存在兩種情況，針對兩種情況，可以畫出相應的圖形，由題目中的信息和同弧所對的圓周角相等，圓內接四邊形對角互補，可以分別求得兩種情況下∠APB的度數，本題得以解決；

（2）根據題意畫出相應的圖形，根據三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角，可以證明結論成立，本題得以解決；

（3）根據題意和第（2）問，可以畫出滿足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的點P所在的范圍，本題得以解決．

試題解析：（1）解：如圖①所示，

根據題意可分兩種情況，

第一種情況，當點P在P1時，

可知，∠AP1B=∠ACB=45°；

第二種情況，當點P在P2時，

∵四邊形ACBP2是圓內接四邊形，

∴∠AP2B+∠ACB=180°，

∵∠ACB=45°，

∴∠AP2B=135°，

故答案為：45°或135°；

（2）證明：如下圖②所示，延長AP交⊙O于點Q，連接BQ．

則∠PQB=∠ACB，

∵∠APB為△PQB的一個外角，

∴∠APB＞∠PQB，

即∠APB＞∠ACB；

（3）點P所在的范圍如下圖③所示，