Question

【題目】閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問題．材料：為解方程x4﹣x2﹣6＝0可將方程變形為（x2）2﹣x2﹣6＝0然后設x2＝y，則（x2）2＝y2，原方程化為y2﹣y﹣6＝0…①

解得y1＝﹣2，y2＝3，當y1＝﹣2時，x2＝﹣2無意義，舍去；

當y2＝3時，x2＝﹣3，解得x＝±；

所以原方程的解為x1＝，x2＝﹣；

問題：（1）在原方程得到方程①的過程中，利用　 　法達到了降次的目的，體現(xiàn)了　 　的數(shù)學思想；

（2）利用以上學習到的方法解下列方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7．

Answer 1

【答案】（1）換元，化歸；（2）x1＝0，x2＝﹣5

【解析】

（1）利用換元法達到了降次的目的，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想，據(jù)此可得答案；

（2）令y＝x2+5x，得到關(guān)于y的一元二次方程，解之求出y的值，從而得到兩個關(guān)于x的一元二次方程，分別求解可得．

解：（1）在原方程得到方程①的過程中，利用換元法達到了降次的目的，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想；

故答案為：換元，化歸．

（2）令y＝x2+5x，

則原方程化為（y+1）（y+7）＝7，

整理，得：y2+8y＝0，

解得y1＝0，y2＝﹣8，

當y＝0時，x2+5x＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣5；

當y＝﹣8時，x2+5x＝﹣8，即x2+5x+8＝0，

∵△＝52﹣4×1×8＝﹣7＜0，

∴此方程無解．

綜上，方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7的解為x1＝0，x2＝﹣5．