Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，點P在線段AC上以1cm/s的速度由點C向點A運動，同時，點Q在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，設運動時間為t（s）．

（1）當t＝1時，判斷△APQ的形狀，并說明理由；

（2）當t為何值時，△APQ與△CQP全等？請寫出證明過程．

Answer 1

【答案】（1）△APQ是等邊三角形；（2）t＝1.5．

【解析】

（1）分別求出AP、AQ的長，根據等邊三角形的判定定理即可得出結論；

（2）根據全等的條件和已知分別求出AP、CP、AQ、CQ的長，根據全等三角形的判定定理即可得出結論．

（1）△APQ是等邊三角形．理由如下：

∵t＝1，∴AP＝3﹣1×1＝2，AQ＝2×1＝2，∴AP＝AQ．

∵∠A＝60°，∴△APQ是等邊三角形；

（2）存在t，使△APQ和△CPQ全等．當t＝1.5s時，△APQ和△CPQ全等．理由如下：∵在Rt△ACB中，AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∠A＝60°，當t＝1.5時，此時AP＝PC．

∵t＝1.5s，∴AP＝CP＝1.5cm．

∵AQ＝3cm，∴AQ＝AC．

又∵∠A＝60°，∴△ACQ是等邊三角形，∴AQ＝CQ．

在△APQ和△CPQ中，∵AQ=CQ，AP=CP，PQ=PQ，∴△APQ≌△CPQ（SSS）；

即存在時間t，使△APQ和△CPQ全等，時間t＝1.5；