Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣5）．有一寬度為1，長度足夠長的矩形（陰影部分）沿x軸方向平移，與y軸平行的一組對(duì)邊交拋物線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，交直線AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)E和點(diǎn)F．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)M和N都在線段AC上時(shí)，連接MF，如果sin∠AMF＝，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）在矩形的平移過程中，是否存在以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣5，A（﹣5，0）；（2）Q坐標(biāo)（﹣4，﹣）；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）或（﹣2+，﹣3﹣）或（﹣2﹣，﹣3+）．

【解析】

（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式求得b、c的值，結(jié)合拋物線解析式求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）作FG⊥AC于G，設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)（m，0），根據(jù)sin∠AMF=，列出方程即可解決問題．

（3））①當(dāng)MN是對(duì)角線時(shí)，設(shè)點(diǎn)F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解決問題．②當(dāng)MN為邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q（m，m2+m-5）則點(diǎn)P（m+1，m2+m-6），代入拋物線解析式，解方程即可．

（1）∵拋物線上的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣5）

∴將其代入y═x2+bx+c，得，

解得b＝，c＝﹣5．

∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣5．

令y=0可得x=3或-5

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣5，0）．

（2）作FG⊥AC于G，設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)（m，0），

則AF＝m+5，AE＝EM＝m+6，FG＝（m+5），FM＝，

∵sin∠AMF＝，

∴，

∴，

整理得到2m2+19m+44＝0，

∴（m+4）（2m+11）＝0，

∴m＝﹣4或﹣5.5（舍棄），

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（﹣4，﹣）．

（3）①當(dāng)MN是對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在y軸的右側(cè)，設(shè)點(diǎn)F（m，0），

∵直線AC解析式為y＝﹣x﹣5，

∴點(diǎn)N（m，﹣m﹣5），點(diǎn)M（m+1，﹣m﹣6），

∵QN＝PM，

∴﹣m﹣5﹣（m2+m﹣5）＝[（m+1）2+（m+1）﹣5]﹣（﹣m﹣6），

解得m＝﹣3+或﹣3﹣（舍棄），

此時(shí)M（﹣2+，﹣3﹣），

當(dāng)MN是對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，設(shè)點(diǎn)F（m，0）．

∴（m2+m﹣5）﹣（﹣m﹣5）＝（﹣m﹣6）﹣[（m+1）2+（m+1）﹣5]，

解得m＝﹣3﹣或﹣3+（舍棄），

此時(shí)M（﹣2﹣，﹣3+）；

②當(dāng)MN為邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q（m，m2+m﹣5）則點(diǎn)P（m+1，m2+m﹣6），

∵NQ＝PM，

∴m2+m﹣6＝（m+1）2+（m+1）﹣5

解得m＝﹣3．

∴點(diǎn)M坐標(biāo)（﹣2，﹣3），

綜上所述，以點(diǎn)P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）或（﹣2+，﹣3﹣）或（﹣2﹣，﹣3+）．