Question

【題目】如圖，⊙O與Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點C、D，與邊BC相交于點F，OA與CD相交于點E，連接FE并延長交AC邊于點G．

（1）求證：DF∥AO；

（2）若AC=6，AB=10，求CG的長．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）欲證明DF∥OA，只要證明OA⊥CD，DF⊥CD即可；

（2）過點作EM⊥OC于M，易知，只要求出EM、FM、FC即可解決問題；

（1）證明：連接OD．

∵AB與⊙O相切與點D，又AC與⊙O相切與點，

∴AC=AD，∵OC=OD，

∴OA⊥CD，

∴CD⊥OA，

∵CF是直徑，

∴∠CDF=90°，

∴DF⊥CD，

∴DF∥AO．

（2）過點作EM⊥OC于M，

∵AC=6，AB=10，

∴BC==8，

∴AD=AC=6，

∴BD=AB-AD=4，

∵BD2=BFBC，

∴BF=2，

∴CF=BC-BF=6．OC=CF=3，

∴OA==3，

∵OC2=OEOA，

∴OE=，

∵EM∥AC，

∴，

∴OM=，EM=，FM=OF+OM=，

∴，

∴CG=EM=2．