Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC= 4cm.D、E分別為邊AB、BC的中點，連結DE.點P從點A出發，沿折線AD－DE－EB運動，到點B停止.點P在線段AD上以cm/s的速度運動，在折線DE－EB上以1cm/s的速度運動.當點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AC于點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點M在直線AQ上.設點P的運動時間為t(s).

（1)當點P在線段DE上運動時，線段DP的長為     cm(用含t的代數式表示)
（2）當點N落在AB邊上時，求t的值.
(3)當正方形PQMN與△ABC重疊部分的面積為S（cm²）,求S與t的函數關系式.
(4)連結CD.當點N與點D重合時，有一點H從點M出發，在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M－N－M連續做往返運動，直至點P與點E重合時，點H停止往返運動；當點P在線段EB上運動時,點H始終在線段MN的中點處.直接寫出在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的值（或取值范圍）.

Answer 1

（1）t – 2（2）4（3）

試題分析：（1）（t – 2）(不要求寫t的取值范圍)         2分
（2）①當點P在線段DE上時，如圖①，PD=PN=PQ=2.
∴ t–2=2
∴t = 4       3分

②當點P在線段EB上時，如圖②
PN=2PB.
∵PN =PC=(t－6)+2 =" t–4" ,
BP = 2－(t－6)=8－t,
∴t－4=2(8－t)
解得 
∴ 當點N落在AB邊上時，t的值為4 或            4分

（3）①當0<t≤2時
      5分
②當2<t≤4時，如圖③，

即        6分

③當4<t≤6時
             7分
④當6<t≤時
          8分
⑤當<t≤8時時，如圖④
，
          9分

（4）或t=5或             12分
提示：當點H第一次落在線段CD上時，
，解得
當點H第二次落在線段CD上時，
，解得t=5.
當點H第三次落在線段CD上時，
，解得t=6.
當時，點H恒在線段CD上. 
點評：此題將用待定系數法求二次函數解析式、動點問題和最小值問題相結合，有較大的思維跳躍，考查了同學們的應變能力和綜合思維能力，是一道好題．