Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點G、E分別是邊AB、BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平方線CF于點F．

（1）證明：△AGE≌△ECF；

（2）求△AEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質，易證得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定兩個三角形全等；

（2）在Rt△ABE中，根據勾股定理易求得AE2；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面積為AE2的一半，由此得解．

試題解析：（1）證明：∵G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點，∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°﹣45°=135°；

又∵CF是∠DCH的平分線，∴∠DCF=∠FCH=45°，∠ECF=90°+45°=135°；

在△AGE和△ECF中，∵AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°，∠GAE=∠FEC；

∴△AGE≌△ECF；

（2）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF；

又∵∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形；

∵AB=a，E為BC中點，∴BE=BC=AB=a，根據勾股定理得：AE==a，∴S△AEF=．