Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜邊上AB上任一點，AE⊥CD于E ， BF⊥CD交CD的延長線于F ， CH⊥AB于H點，交AE于G ．

（1）試說明AH＝BH
（2）求證：BD＝CG ．
（3）探索AE與EF、BF之間的數量關系

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AC=BC，CH⊥AB∴AH＝BH
（2）解：∵ABC為等腰直角三角形，且CH⊥AB

∴∠ACG＝45°

∵∠CAG＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°

∴∠CAG＝∠BCF

在△ACG和△CBD中

∴△ACG≌△CBD（ASA）

∴BD＝CG

（3）解：AE=EF＋BF

理由如下：

在△ACE和△CBF中，

∴△ACE≌△CBF， ∴AE=CF，CE=BF， ∴AE=CF=CE+EF=BF+EF

【解析】第1小題，根據等腰三角形三線合一可求解；第2小題，根據等腰直角三角形的性質和直角三角形兩銳角互余可找出條件證明△ACG≌△CBD；第3小題，由前面的條件可證△ACE≌△CBF，得到AE=CF，CE=BF，從而得到AE=CF=CE+EF=BF+EF。