Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+6與x軸交于點A（6，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M為該拋物線對稱軸上一點，當CM+BM最小時，求點M的坐標．

（3）拋物線上是否存在點P，使△BCP為等腰三角形？若存在，有幾個？并請在圖中畫出所有符合條件的點P，（保留作圖痕跡）；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（，）；（3）存在5個滿足條件的P點，尺規作圖見解析

【解析】

（1）將A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6即可；

（2）作點C關于對稱軸x＝的對稱點C'，連接BC'與對稱軸交于點M，則CM+BM＝C'M+BM＝BC最小；求出BC'的直線解析式為y＝x+1，即可求M點；

（3）根據等腰三角形腰的情況分類討論，然后分別尺規作圖即可．

解：（1）將A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6，

可得a＝﹣1，b＝5，

∴y＝﹣x2+5x+6；

（2）作點C關于對稱軸x＝的對稱點C'，連接BC'與對稱軸交于點M，

根據兩點之間線段最短，則CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，

∵C（0，6），

∴C'（5，6），

設直線BC'的解析式為y=kx＋b

將B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得

解得：

∴直線BC'的解析式為y＝x+1，

將x＝代入，解得y=

∴M（，）；

（3）存在5個滿足條件的P點；尺規作圖如下：

①若CB=CP時，以C為原點，BC的長為半徑作圓，交拋物線與點P，如圖1所示，此時點P有兩種情況；

②若BC=BP時，以B為原點，BC的長為半徑作圓，交拋物線與點P，如圖2所示，此時點P即為所求；

③若BP=CP，則點P在BC的中垂線上，作BC的中垂線，交拋物線與點P，如圖3所示，此時點P有兩種情況；

故存在5個滿足條件的P點．