Question

如圖，點I是△ABC的內心，AI的延長線交邊BC于點D，交△ABC外接圓于點E．
（1）求證：IE=BE；
（2）若IE=4，AE=8，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接IB，只需證明∠IBE=∠BIE．根據三角形的外角的性質、三角形的內心是三角形的角平分線的交點以及圓周角定理的推論即可證明；
（2）IE的長，即是BE的長，則可以把要求的線段和已知的線段構造到兩個相似三角形中，進行求解．

解答：（1）證明：連接IB．
∵點I是△ABC的內心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD．
又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，
∴BE=IE．

（2）解：在△BED和△AEB中，
∠EBD=∠CAD=∠BAD，∠BED=∠AEB．
∴△BED∽△AEB，
∴

BE

AE

=

DE

BE

，
∵IE=4，AE=8，
∴BE=4，
即DE=

BE2

AE

=2．

點評：此題要理解三角形的內心即是三角形角平分線的交點，能夠熟練運用三角形的外角的性質、圓周角定理的推論以及相似三角形的判定和性質．