Question

（2013•江寧區一模）已知：如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，且D為AC的中點，過D作DE丄CB，垂足為E．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）已知CD=4，CE=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）利用切線的判定得出∠ODE=90°，進而求出DE是⊙O的切線，
（2）利用常作的一條輔助線，即“見切點，連半徑，得垂直”，然后再把要證的垂直與已有的垂直進行聯系，即可得出證法，利用相似三角形的判定與性質求出即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵D為AC的中點，O為AB的中點，
∴DO∥BC，
∵DE丄CB，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，
∴直線DE是⊙O的切線；

（2）解：連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，
Rt△CDB∽Rt△CED，
∴

BC

DC

=

DC

CE

，
∴BC=

DC2

CE

=

42

3

=

16

3

，
又∵OD=

1

2

BC，
∴OD=

1

2

×

16

3

=

8

3

，
即⊙O的半徑為

8

3

．

點評：此題主要考查了圓的切線的性質、垂直的判定、圓周角的性質、三角形相似等知識，熟練作出正確輔助線是解題關鍵．