Question

【題目】如圖，點C為△ABD外接圓上的一動點（點C不在上，且不與點B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．

（1）求證：BD是該外接圓的直徑；

（2）連結CD，求證：AC=BC+CD；

（3）若△ABC關于直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究，三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DM2＝BM2＋2MA2,理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）易證△ABD為等腰直角三角形，即可判定BD是該外接圓的直徑；（2）如圖所示作CA⊥AE，延長CB交AE于點E，再證△ACE為等腰直角三角形，可得AC＝AE，再由勾股定理即可得；利用SAS判定△ABE≌△ADC，可得BE＝DC，所以CE＝BE＋B，所以C＝DC＋BC＝；（3）延長MB交圓于點E，連結AE、DE，因∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°，由勾股定理可得，再證∠BED=90°，在RT△MED中，有，所以.

試題解析：（1）∵弧AB＝弧AB， ∴∠ADB＝∠ACB

又∵∠ACB＝∠ABD＝45° ∴∠ABD＝∠ADB＝45°

∴∠BAD＝90° ∴△ABD為等腰直角三角形

∴BD是該外接圓的直徑

（2）如圖所示作CA⊥AE，延長CB交AE于點E

∵∠ACB＝45°，CA⊥AE

∴△ACE為等腰直角三角形 ∴AC＝AE

由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2 ∴

由（1）可知△ABD 為等腰直角三角形

∴AB＝AD ∠BAD＝90° 又∵∠EAC＝90°

∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC ∴∠EAB＝∠DAC

∴在△ABE和△ADC中

∴△ABE≌△ADC（SAS）

∴BE＝DC

∴CE＝BE＋BC＝DC＋BC＝

（3）DM2＝BM2＋2MA2

延長MB交圓于點E，連結AE、DE

∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°

∴在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°

∴

又∵AC=MA=AE

∴=

又∵=

∴－＋=－＋

即=

∴DE=BC=MB

∵BD為直徑

∴∠BED=90°

在RT△MED中，有

∴