Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標軸上．O為原點，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，8）．動點M從點O出發．沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動，同時動點N從點A出發，沿AB向終點B以每秒 個單位的速度運動．當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設動點M、N運動的時間為t秒（t＞0）．

（1）當t=3秒時，直接寫出點N的坐標；
（2）在此運動的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當t為何值時，△MNA是一個等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：作NC⊥OA于C，

∵t=3時，AN=3× =5，

∴CN=ANsin∠OAB=5× =4，AC=ANcos∠OAB=5× =3，

∴OC=OA﹣AC=3，

∴N（3，4）

故答案為N（3，4）．

（2）

解：由題意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，

NC=NAsin∠BAO= t = t，

則：S△MNA= AMNC= ×（6﹣t）× t，

=﹣ （t﹣3）2+6．

∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6．

（3）

解：（解法1）AM=6﹣t，AN= t （0＜t＜6），

∴AC=ANcos∠BAO=t，

①當AM=AN時，6﹣t= t，即 t= ，

②當MN=AN時，則NC垂直平分線段MA，

∴MC=AC=t

∵OM+MC+CA=OA

∴t+t+t=6 解得t=2

③當MN=MA時，設D為線段AN的中點，則 MD垂直平分線段AN

∴AD= AN= ，

又∵cos∠DAM=cos∠OAB （或∵△DAM∽△OAB）

∴ 即 解得 t= ．

綜上，當t的值取 2或 或 時，△MAN是等腰三角形．

（解法2）AN= t，NC= t，AC=ANcos∠BAO=t；

∴OC=OA﹣AC=6﹣t，

∴MC=|OC﹣OM|=|6﹣t﹣t|=|6﹣2t|

Rt△NCM中 NM2=MC2+NC2

∴NM= = ，

∴ ，

又：AM=6﹣t，AN= t（0＜t＜6）；

①當MN=AN時，MN2=AN2

∴ = ，

即：t2﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；

②當MN=MA時，MN2=MA2

∴ =（6﹣t）2，

即： t2﹣12t=0，t1=0（舍去），t2= ；

③當AM=AN時，6﹣t= t，即t= ；

綜上，當t的值取 2或 或 時，△MAN是等腰三角形．

【解析】（1）作NC⊥OA于C，在Rt△ANC中，求出NC、AC即可解決問題；（2）過點N作NC⊥OA于C．由題意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，NC=NAsin∠BAO= t = t，則：S△MNA= AMNC= ×（6﹣t）× t=﹣ （t﹣3）2+6，根據二次函數的性質即可解決問題；（3）分三種情形方程列出方程即可解決問題．．