Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC相交于E，此時Rt△AEP∽Rt△ABC，點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM=EN，EP:EM=12:13.
（1）如圖1，當點E與點C重合時，求CM的長；

（2）如圖2，當點E在邊AC上時，點E不與點A，C重合，設AP=x，BN=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍.
 

Answer 1

（1）CM=26；（2）y=50-x，0<x<32

解析試題分析：（1）先根據已知條件得出AC的值，再根據CP⊥AB求出CP，從而得出CM的值；
（2）先根據sin∠EMP=，設出EP的值，從而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出，求出a的值，即可得出y關于x的函數關系式，并且能求出x的取值范圍．
解： （1）∵∠ACB=90°，
∴，
∵CP⊥AB，
∴
∴，
∴CP=24，
∴；
（2）∵sin∠EMP=，
∴設EP=12a，則EM=13a，PM=5a，
∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴，
∴，
∴x=16a，
∴，
∴BP=50-16a，
∴y=50-21a=50-21×=50-
∵當E點與A點重合時，x=0．當E點與C點重合時，x=32．
∴x的取值范圍是：（0＜x＜32）.
考點：相似三角形的綜合題
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.