Question

如圖，將拋物線y=x²沿x軸正方向平移3個單位得到拋物線l，直線y=-2．
（1）求拋物線l的解析式；
（2）點A是拋物線l上一點，點B是直線y=-2上一點，是否存在等腰△OAB？若存在，求點A，B兩點的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若將上題中的“沿x軸正方向平移3個單位”改為“沿x軸正方向平移n個單位”，其它條件不變，探究上題（2）中的問題．

Answer 1

分析：（1）根據平移的性質即可得出拋物線l的解析式；
（2）存在，根據等腰三角形的性質，OA=OB，根據這一條件和點A在拋物線上的條件便可求出A、B兩點的坐標；
（3）先求出拋物線y=x²沿x軸正方向平移n個單位后的拋物線的解析式，再根據等腰三角形的性質便可求出A、B兩點的坐標．

解答：解：（1）拋物線y=x²沿x軸正方向平移3個單位得到拋物線l的解析式為y=（x-3）²；

（2）存在，當OA=OB時，即AB關于x軸對稱時，三角形OAB為的等腰三角形，
設B點坐標為（x，-2）則A點坐標為A（x，2），
又∵點A是拋物線l上一點，
∴（x-3）²=2，解得x=3+

2

或x=3-

2

，
∴AB兩點的坐標分別為A（3+

2

，2），B（3+

2

，-2）或為A（3-

2

，2），B（3-

2

，-2）；

（3）拋物線y=x²沿x軸正方向平移n個單位得到拋物線l的解析式為y=（x-n）²；
若三角形OAB為的等腰三角形，則OA=OB，即AB關于x軸對稱，
設B點坐標為（x，-2）則A點坐標為A（x，2），
又∵點A是拋物線l上一點，
∴（x-n）²=2，解得x=n+

2

或x=n-

2

，
∴AB兩點的坐標分別為A（n+

2

，2），B（n+

2

，-2）或為A（n-

2

，2），B（n-

2

，-2）；

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．