Question

【題目】如圖，和中，，，，點在邊上.

（1）如圖1，連接，若，，求的長度；

（2）如圖2，將繞點逆時針旋轉，旋轉過程中，直線分別與直線交于點，當是等腰三角形時，直接寫出的值；

（3）如圖3，將繞點順時針旋轉，使得點在同一條直線上，點為的中點，連接.猜想和之間的數量關系并證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）22.5°、112.5°、45°；（3）AE+CF=.

【解析】

（1）根據勾股定理求出AB的長，可得CE，再用勾股定理可得FC的長度；

（2）分別當CM=CN，MN=CN，MN=MC時，進行討論即可；

（3）連接AP，延長AE交CF于點Q，由四點共圓可知∠AEP=45°，從而推出A、E、Q共線，再由垂直平分線的判定可知AQ垂直平分CF，即得△ABF為等腰三角形，得到AP⊥BF，則△AEP為等腰直角三角形，得到AE和PE的關系，再根據EF和FC的關系得到AE、CF、BP三者的數量關系.

解：（1），，，

∴AB==5，

∴EC=EF=3，

∴FC==；

（2）由題意可知△CMN中不會形成MN=MC的等腰三角形，

①當CM=CN時，

∠CNE=（180°-45°）=67.5°，

∵∠NEC=90°，

∴α=∠ACE=22.5°；

②當CM=CN時，α=∠ACE，

∵∠ACB=45°，

∴∠CNM=∠CMN=×45°=22.5°，

∵∠CEM=90°，

∴∠ECM=67.5°，

∴α=∠ACE=112.5°；

③當CN=MN時，此時CE與BC共線，

α=∠BCA=45°；

綜上：當是等腰三角形時，α的值為：22.5°、112.5°、45°.

（3）AE+CF=

連接AP，延長AE交CF于點Q，

由題意可得：∠CEB=∠BAC=90°，

∴A、E、C、B四點共圓，

可得：∠AEB=∠ACB=45°，

且∠CEQ=45°，

∴∠EQC=90°，

可知點A在CF的垂直平分線上，

∴AC=AF=AB，

∵點P是BF中點，

∴AP⊥BF，

∴△APE為等腰直角三角形，

∴AE=，

又∵△EFC為等腰直角三角形，

∴CF=，

∴+==AE+CF，

∵BP=PF，

∴AE+CF=.