Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，點D在AC上，點E在BA的延長線上，連接BD，CE，AD=AE，BD=CE．

（1）若BD=，AD=1，求BC的長度；

（2）將圖1中的BD延長，過點A作AF∥BC交BD延長線于點F，如圖2，連接FC，若BC=BF，求證：CD=CF．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據直角三角形全等的判定HL證得Rt△BAD≌Rt△CAE，根據全等三角形的性質得出AB=AC，然后根據勾股定理得到AB的長，進而求出BC的長；

（2）作AM⊥BC于M，FN⊥BC于N．易知四邊形AMNF是矩形，再根據矩形的性質和等腰三角形的三線合一的性質求解即可.

試題解析：（1）解：在Rt△BAD和△RtCAE中，

，

∴Rt△BAD≌Rt△CAE，

∴AB=AC，

∵AB===4，

∴BC=AB=4．

（2）作AM⊥BC于M，FN⊥BC于N．

∵AF∥BC，易知四邊形AMNF是矩形，

∴AM=FN，

∵AB=AC，AM⊥BC，

∴AM=FN=BC=BF，

∴∠FBN=30°，

∵BF=BC，

∴∠BFC=∠BCFF=75°，

∵∠CDF=∠DBC+∠DCB=30°+45°=75°，

∴∠CDF=∠CFD，

∴CD=CF．