Question

我校八（1）班同學上數學活動課，利用角尺平分一個角（如圖）.設計了如下方案：                        

（Ⅰ）∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.

（Ⅱ）∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.

（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由.

（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續移動角尺，同時使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？請說明理由.

Answer 1

解：（1）方案（Ⅰ）不可行. 方案（Ⅱ）可行.

      方案（Ⅰ）缺少證明三角形全等的條件. 方案（Ⅱ）證明：在△OPM和△OPN中

    

∴△OPM≌△OPN(SSS)

∴∠AOP=∠BOP(全等三角形對應角相等)

（2）當∠AOB是直角時，此方案可行.

∵四邊形內角和為360°，又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,

∴∠AOB=90°

∵若PM⊥OA,PN⊥OB,

且PM=PN

∴OP為∠AOB的平分線.(到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上) …

當∠AOB不為直角時，此方案不可行.