Question

已知：如圖，在直角坐標系中，有菱形OABC，A點的坐標為（10，0），對角線OB,AC相交于D點，雙曲線y= （x＞0）經過D點，交BC的延長線于E點，且OB•AC=160，有下列四個結論：①菱形OABC的面積為80；   ②E點的坐標是（4，8）；③雙曲線的解析式為y= （x＞0）；  ④,其中正確的結論有（      ）個。

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

C.

解析試題分析：過點C作CF⊥x軸于點F，由OB•AC=160可求出菱形的面積，由A點的坐標為（10，0）可求出CF的長，由勾股定理可求出OF的長，故可得出C點坐標，對角線OB、AC相交于D點可求出D點坐標，用待定系數法可求出雙曲線y=（x＞0）的解析式，由反比例函數的解析式與直線BC的解析式聯立即可求出E點坐標；由sin∠COA=可求出∠COA的正弦值；根據A、C兩點的坐標可求出AC的長，由OB•AC=160即可求出OB的長．

過點C作CF⊥x軸于點F，
∵OB•AC=160，A點的坐標為（10，0），
∴，菱形OABC的面積為80，故①正確；
又菱形OABC的邊長為10，
∴CF=
在Rt△OCF中，
∵OC=10，CF=8，
∴，
∴C（6，8），
∵點D時線段AC的中點，
∴D點坐標為（，），即（8，4），
∵雙曲線y=（x＞0）經過D點，
∴4=，即k=32，
∴雙曲線的解析式為：y=（x＞0），故③錯誤；
∵CF=8，
∴直線CB的解析式為y=8，
∴，解得x=4，y=8，
∴E點坐標為（4，8），故②正確；
∵CF=8，OC=10，
∴，故④正確；
故選C．
考點: 反比例函數.