Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點A在y軸上，坐標為（0，﹣1），另一頂點B坐標為（﹣2，0），已知二次函數y= x2+bx+c的圖象經過B、C兩點．現將一把直尺放置在直角坐標系中，使直尺的邊A′D′∥y軸且經過點B，直尺沿x軸正方向平移，當A′D′與y軸重合時運動停止．

（1）求點C的坐標及二次函數的關系式；
（2）若運動過程中直尺的邊A′D′交邊BC于點M，交拋物線于點N，求線段MN長度的最大值；
（3）如圖②，設點P為直尺的邊A′D′上的任一點，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點，試探究：在直尺平移的過程中，當PQ= 時，線段PA、PB、PC之間的數量關系．請直接寫出結論，并指出相應的點P與拋物線的位置關系．
（說明：點與拋物線的位置關系可分為三類，例如，圖②中，點A在拋物線內，點C在拋物線上，點D′在拋物線外．）

Answer 1

【答案】
（1）

如圖1，過點C作CD⊥y軸于D，此時△CDA≌△AOB，

∵△CDA≌△AOB，

∴AD=BO=2，CD=AO=1，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（﹣1，﹣3）．

將B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3）代入拋物線y= x2+bx+c，

解得 b= ，c=﹣3，

∴拋物線的解析式為y= x2+ x﹣3．

（2）

設lBC：y=kx+b，

∵B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），

∴ ，

解得 ，

∴lBC：y=﹣3x﹣6，

設M（xM，﹣3xM﹣6），N（xN， xN2+ xN﹣3），

∵xM=xN（記為x），yM≥yN，

∴線段MN長度=﹣3x﹣6﹣（ x2+ x﹣3）=﹣ （x+ ）2+ ，（﹣2≤x≤﹣1），

∴當x=﹣ 時，線段MN長度為最大值 ．

（3）

答：P在拋物線外時，BP+CP= AP；P在拋物線上時，BP+CP= AP；P在拋物線內，PC﹣PB= PA．

分析如下：

如圖2，以Q點為圓心， 為半徑作⊙Q，

∵OB=2，OA=1，

∴AC=AB= = ，

∴BC= = ，

∴BQ=CQ= ，

∵∠BAC=90°，

∴點B、A、C都在⊙Q上．

①P在拋物線外，

如圖3，圓Q與BD′的交點即為點P，連接PB，PC，PA，延長PC交y軸于點D

∵BC為直徑，

∴∠BPC=90°

∵BD′與y軸平行

∴∠ADC=90°，且D點為拋物線與y軸交點

∴PD∥x軸

易得PC=1，PB=3，PA=2

∴BP+CP= AP．

②P在拋物線上，此時，P只能為B點或者C點，

∵AC=AB= ，

∴AP= ，

∵BP+CP=BC= ，

∴BP+CP= AP．

③P在拋物線內，有兩種情況，如圖4，5，

如圖4，在PC上取BP=PT，

∵BC為直徑，

∴∠BPC=90°

∴△BPT為等腰直角三角形

∴∠PBT=45°=∠1+∠2

∵∠ABC=∠3+∠2=45°

∴∠1=∠3

∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）

∴△BPA∽△BTC

∴

∵PC=PT+CT

∴PC=PT+ PA=PB+ PA

∴PC﹣PB= PA

同理，如圖5，也可得PB﹣PC= PA．

【解析】（1）求C點坐標，考慮作x，y軸垂線，表示橫縱坐標，易得△CDA≌△AOB，所以C點坐標易知．進而拋物線解析式易得．（2）橫坐標相同的兩點距離，可以用這兩點的縱坐標作差，因為兩點分別在直線BC與拋物線上，故可以利用解析式，設橫坐標為x，表示兩個縱坐標．作差記得關于x的二次函數，利用最值性質，結果易求．（3）計算易得，BC= ，因為Q為BC的中點，PQ= 恰為半徑，則易作圓，P點必在圓上．分三種情況進行解答．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．