Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點，連接，過點作，垂足為點，交的延長線于點．

(1)求證：是的切線；

(2)如果的徑為5，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，AB為⊙O的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形性質得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據切線的判定方法即可得到結論．
（2）由∠DAC=∠DAB，根據等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE的長．

解：（1）證明：連結OD，如圖，
∵AB為⊙0的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴EF是⊙O的切線；

（2）∵△ABC是等腰三角形，

∴∠CAD=∠BAD，

∵∠AED=∠ADB=90°，

∴∠CAD+∠ADE=∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ADE=∠ABD，

在Rt△ABD中，sin∠ABD=sin∠ADE=，

AB=2AO=10，

∴AD=8，

在Rt△ADE中，sin∠ADE=，

∴AE=.