Question

如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，點P為OA上一點，弦MN過點P，且AP=2，OP=3，MP=2

2

，若OQ⊥MN于點Q，求OQ的長．

Answer 1

分析：連接ON，首先利用相交弦定理求得PN的長，即可求得MN的長，根據垂徑定理求得QM的長，然后在直角△ONP中利用勾股定理求得OQ的長．

解答：解：連接ON．則ON=OA=OB=AP+OP=5，
∴BP=OB+OP=5+3=8，
∵AP•BP=MP•PN，
∴PN=

AP•BP

MP

=

8×2

2 2

=4

2

，
∴MN=MP+PN=2

2

+4

2

=6

2

，
∵OQ⊥MN，
∴QN=

1

2

MN=3

2

，
在直角△ONQ中，OQ=

ON2-QN2

=

52-(3 2 )2

=

7

．

點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．