Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，∠CAB=60°．

（1）求BC及陰影部分的面積；

（2）求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）3，3π﹣；（2）+．

【解析】

試題分析：（1）根據圓周角定理得出∠ACB=90°，再由銳角三角函數的定義求出BC的長，連接OC，過點C作CE⊥x軸于點E，則可得出CE的長，由陰影部分的面積=S扇形OBC﹣S△OBC即可得出結論；

（2）連接AD，由角平分線的定義求出∠ACD的度數，過點A作AF⊥CD于點F，由銳角三角函數的定義求出AF，CF及DF的長，根據CD=CF+FD即可得出結論．

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

在Rt△ACB中，

∵∠CAB=60°，AB=6，

∴BC=ABsin∠CAB=6×=3，∠CBA=30°，

如圖1，連接OC，過點C作CE⊥x軸于點E，

在Rt△BCE中，CE=BCsin∠CBA=3×=，

陰影部分的面積=S扇形OBC﹣S△OBC=×π×9﹣××3=3π﹣；

（2）連接AD，

∵∠ABC=30°，

∴∠ADC=∠ABC=30°，

在△CAD中，AC=3，∠ACD=45°，

過點A作AF⊥CD于點F，在Rt△AFC中，AF=CF=，

在Rt△AFD中，

∵DF=AF=，

∴CD=CF+FD=+．