Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣（其中m＞0）與x軸分別交于A，B兩點（A在B的右側），與y軸交于點c．

（1）求△AOC的周長，（用含m的代數式表示）

（2）若點P為直線AC上的一點，且點P在第二象限，滿足OP2=PCPA，求tan∠APO的值及用含m的代數式表示點P的坐標；

（3）在（2）的情況下，線段OP與拋物線相交于點Q，若點Q恰好為OP的中點，此時對于在拋物線上且介于點C與拋物線頂點之間（含點C與頂點）的任意一點M（x0，y0）總能使不等式n≤及不等式2n﹣恒成立，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） 3m+3m；（2）tan∠APO=，P（﹣）；（3） ≤n≤2．

【解析】

（1）分別令x=0和y=0，計算拋物線與兩坐標軸的交點C和A的坐標，再根據勾股定理計算AC的長，根據三角形的周長可得結論；

（2）根據特殊三角函數值可得∠CAO=30°，證明△OPA∽△CPO，則∠POC=∠OAC=30°，可得tan∠APO=，過P作PE⊥x軸于E，表示OE和PE的長，根據點P在第二象限，可得P的坐標；

（3）根據中點坐標公式可得Q的坐標，代入拋物線的解析式可得m的值，計算對稱軸，得x0的取值范圍，根據兩個不等式確定其解集即可．

（1）當x=0時，y=﹣××（﹣3m）=m，∴C（0，m），∴OC=m，當y=0時，﹣=0，解得：x1=﹣，x2=3m．

∵A在B的右側，其中m＞0，∴A（3m，0），由勾股定理得：AC===2m，∴△AOC的周長=OA+OC+AC=3m+m+2m=3m+3m；

（2）Rt△AOC中，tan∠OAC===，∴∠CAO=30°．

∵OP2=PCPA，∴．

∵∠OPC=∠OPC，∴△OPA∽△CPO，∴∠POC=∠OAC=30°．

∵∠ACO=∠POC+∠APO，∴∠APO=60°﹣30°=30°，∴tan∠APO=．

過P作PE⊥x軸于E．

∵∠APO=∠OAC=30°，∴PO=OA=3m，∠POE=60°，Rt△PEO中，∠EPO=30°，∴OE=OP=，PE=．

∵點P在第二象限，∴P（﹣）；

（3）由（2）知：P（﹣）．

∵點Q恰好為OP的中點，∴Q（﹣）．

∵Q在拋物線上，則=﹣，解得：m=，∴拋物線的解析式為：y=﹣（x+）（x﹣3）=﹣，對稱軸是：x=﹣=，作拋物線的對稱軸交拋物線于點F．

∵M在點C與頂點F之間（含點C與頂點F），∴0≤x0≤，n≤，設w1=．

∵1＞0，∴w1隨x0的增大而增大，∴當x0=時，w1有最大值，即有最小值為2，∴n≤2，對于不等式2n﹣，n≥﹣2，n≥﹣2（x0﹣）2+，設w2=﹣2（x0﹣）2+．

∵﹣2＜0，∴w2有最大值．

∵0＜＜，∴當x0=時，w2有最大值為，∴n≥．

綜上所述：n的取值范圍是≤n≤2．