Question

一塊矩形木板，它的右上角有一個圓洞，現設想將它改造成火鍋餐桌桌面，要求木板大小不變，且使圓洞的圓心在矩形桌面的對角線的交點上．木工師傅想了一個巧妙的辦法，他測量了PQ與圓洞的切點K到點B的距離及相關數據（單位：cm），從點N沿折線NF-FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如圖1所示．圖2中的矩形EFGH是切割后的兩塊木板拼接成符合要求的矩形桌面示意圖（不重疊，無縫隙，不記損耗），則CN，AM的長分別是    ．

Answer 1

【答案】分析：如圖，延長OK交線段AB于點M′，延長PQ交BC于點G，交FN于點N′，設圓孔半徑為r．在Rt△KBG中，根據勾股定理，得r=16（cm）．根據題意知，圓心O在矩形EFGH的對角線上，則KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．則根據圖中相關線段間的和差關系求得CN=QG-QN′=44-26=18（cm），AM=BC-PD-KM′=130-50-49=31（cm）．
解答： 解：如圖，延長OK交線段MF于點M′，延長PQ交BC于點G，交FN于點N′．
設圓孔半徑為r．
在Rt△KBG中，根據勾股定理，得
BG²+KG²=BK²，即（130-50）²+（44+r）²=100²，
解得，r=16（cm）．
根據題意知，圓心O在矩形EFGH的對角線上，則            
KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．
∴QN′=KN′-KQ=42-16=26（cm），KM′=49（cm），
∴CN=QG-QN′=44-26=18（cm），
∴AM=BC-PD-KM′=130-50-49=31（cm），
綜上所述，CN，AM的長分別是18cm、31cm．
故填：18cm、31cm．
點評：本題以改造矩形桌面為載體，讓學生在問題解決過程中，考查了矩形、直角三角形及圓等相關知識，積累了將實際問題轉化為數學問題經驗，滲透了圖形變換思想，體現了數學思想方法在現實問題中的應用價值．