Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結AE、DE、DC．

（1）求證：DE垂直AC；

（2）求證：△ABE≌△CBD；

（3）若∠CAE=30°，求∠BDC的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）75°．

【解析】

（1）延長DE交AC于點H,根據等腰直角三角形的性質可得: ∠BAC=45°,∠BDE=45°，再根據三角形內角和定理可得∠DHA=90°,即可求證;

（2）由已知條件根據SAS容易證明△ABE≌△CBD；

（3）由全等三角形對應角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性質求出∠AEB的度數，即可確定∠BDC的度數.

（1）延長DE交AC于一點H,

∵∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，

∴∠ABE=∠CBD=90°,

∵AB=BC,BE=BD,

∴∠BAC=45°,∠BDE=45°，

即∠DAH=45°,∠ADH=45°，

∴∠DHA=90°,

∴DE⊥AC.

（2）證明：∵∠ABC=90°，D為AB延長線上一點，∴∠ABE=∠CBD=90°．在△ABE和△CBD中．

,

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

（3）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°．

∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣30°=15°．

∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15°，∴∠BDC=90°﹣∠BCD=90°﹣15°=75°.