Question

已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD=BC，則△ABC底角的度數為(     )

A．45°   B．75°

C．45°或15°或75°      D．60°

Answer 1

C【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質；等腰直角三角形．

【專題】幾何圖形問題；分類討論．

【分析】作出圖形，分①點A是頂點時，根據等腰三角形三線合一的性質可得BD=CD，從而得到AD=BD=CD，再利用等邊對等角的性質可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形兩銳角互余求解即可；

②點A是底角頂點時，再分AD在△ABC外部時，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠ACD=30°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求解即可得到底角是15°，AD在△ABC內部時，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠C=30°，然后再根據等腰三角形兩底角相等求解即可．

【解答】解：①如圖1，點A是頂點時，∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∵AD=BC，

∴AD=BD=CD，

在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=（180°﹣90°）=45°；

②如圖2，點A是底角頂點，且AD在△ABC外部時，

∵AD=BC，AC=BC，

∴AD=AC，

∴∠ACD=30°，

∴∠BAC=∠ABC=×30°=15°；

③如圖3，點A是底角頂點，且AD在△ABC內部時，

∵AD=BC，AC=BC，

∴AD=AC，

∴∠C=30°，

∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣30°）=75°；

綜上所述，△ABC底角的度數為45°或15°或75°．

故選C．

【點評】本題考查了30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，等腰三角形的兩底角相等的性質，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，難點在于要分情況討論求解．